3枚のドアの向こうには、当たりの車が1台とハズレのヤギが2頭。あなたがドアを1枚選ぶと、正解を知っている司会者が残りのうちハズレを1枚開けて、「選び直しますか？」と尋ねてきます。これが世に名高いモンティ・ホール問題です。感覚的には残り2枚で五分五分に思えますが、実際は乗り換えたほうが勝率は2倍。このゲームでは1回ずつ手で選ぶことも、ボタン一つで100回連続試行することもでき、勝率グラフが理論値へ収束していく過程を観察できます。
腑に落ちない人は、司会者が「答えを知っていて、必ずハズレだけを開ける」点に注目してください。この介入のせいで、最初に選ばなかった2枚が持っていた合計2/3の確率が、開かれずに残った1枚へ丸ごと流れ込みます。乗り換えるという選択は「最初の自分が外していた確率」に乗ることと同じです。理屈で詰まったら、100連ボタンを何度か押してみましょう。数字が2/3へ寄っていく様子が何よりの証明になります。
この問題は、大数学者エルデシュでさえシミュレーション結果を見るまで首を縦に振らなかったという逸話で知られます。ならば説明を尽くすより、たくさん引かせて見せるほうが早い——そう考えて、確率の直感のズレを体感する教材として作りました。連続試行では乗り換える戦略と据え置く戦略を同条件で走らせて比較します。計算は全部ブラウザ内で完結する抽象モデルです。
もっと詳しい遊び方 → モンティホール100連の解説ページ
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このゲームについて
この問題が誤解されやすい最大の理由は、司会者が何をする人なのかが曖昧なまま議論されることにあります。このゲームの司会者は、プログラム上で二つの禁止事項を課されています。あなたが選んだドアは絶対に開けない。車が入っているドアも絶対に開けない。その条件を満たすドアが二枚あるときだけ、そこから一枚をランダムに選んで開けます。言い換えれば、司会者は必ず正解を知っていて、必ずヤギを見せる存在です。この前提が成り立たない場合、たとえば司会者が中身を知らずに偶然ヤギを引き当てた場合には、答えそのものが変わります。だからこの二つの禁止事項は、自動テストで5,000ラウンドぶんを一件ずつ検査し、一度でも破られていないことを確認しています。
グラフに引かれた二本の破線は、理論値である 2/3 と 1/3 です。この線に本当に収束するかどうかは、ゲーム本体と同じ計算コードを使ったテストで検算しています。乱数の種を固定して10万回の試行を回したとき、変える戦略の勝率は 66.6%、変えない戦略の勝率は 33.5% でした。テストの合格条件は「理論値との差が 0.01 未満であること」で、計算を書き換えてこの範囲を外れると、テストが落ちて気づける仕組みにしてあります。同じ種を与えれば毎回まったく同じ結果が出ることも、あわせて確認しています。
一回の勝敗からは何も分かりません。変えて負けることも、変えずに勝つことも普通に起こります。十回程度でも、本来の勝率からは平気で大きくずれます。そこで手で回すモードとは別に、100連と1万連のボタンを用意しました。押すと、変える戦略と変えない戦略を同じ条件で同じ回数だけ走らせ、勝率の推移を二本の折れ線として重ねて描きます。序盤はぐらぐら揺れていた線が、試行を重ねるにつれてそれぞれ別の高さへ落ち着いていきます。この収束していく形を見てもらうことが、このページの本題です。
扱っているのは標準的なモンティ・ホール問題だけです。司会者が中身を知らないまま開けてしまう変種や、司会者があなたの選択を見てから意地悪に振る舞う変種は実装していません。選べる条件を増やすほど「どの前提のもとでその答えになるのか」がぼやけてしまうと考えたためです。乱数はページを開いた時刻を種にした擬似乱数を使っており、計算はすべてあなたの端末の中だけで行われます。プレイ内容や成績が外部へ送信されることはありません。